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第525节

清史稿(下)-第525节

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甚深。考大德四年莫若序,计后此书四年。此书首列乘除布算诸例,始于超径等接之术,终于天元如积开方,由浅近以至通变,循序渐进,其理易知。名曰启蒙,实则为玉鉴立术之根,此一证也。玉鉴原本十行,行十九字,“今有”低一格,“术曰”又低二格,与此书同,此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“”,此假借字,本汉书平帝纪及管子乘马篇,尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经,钧石之“石”,说文本作“柘”,玉鉴作“硕”,“硕”“石”古虽互通,然假“硕”为“石”,则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志,而算书罕见,又玉鉴田之“”,虽见李籍九章音义,为字书所无,此书并同,此三证也。玉鉴虽亦三卷,而门则为二十四,问则二百八十八,较多此书四门二十九问,然以四字分类,其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属,则又二书互见,此四证也。玉鉴如意混和第一问,据数知一秤为十五斤,適与此书之斤秤起率合,此五证也。玉鉴锁套吞容第九问,方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问,有小平小长,皆向无其术。此书卷首明乘除段,即载平除长为小长,长除平为小平之例。其田亩形段第十五问,复载方五斜七八角田求积通术,此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问,与此书盈不足术第七问,又玉鉴果垛叠藏第十四问,与此书堆积还原第十四问,又玉鉴方程正负第四问,与此书方程正负第五问,题皆约略相同,此七证也。知系硃氏原书佚而复出,并其算法一则,亦为附列,间有鱼豕,悉仍其旧,但各标识于误字旁,别记刊误於卷末。知
又尝又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表,一度十三分二十秒正切第五字“0”误“一”;又六度四十一分十秒正切第五字“0”误“六”;又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”;又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“0”;又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”。可见西人所能,中人亦能之。古
又因又因会通四元玉鉴如像招数一门,更取明氏捷法,御以天元,知密率亦可招差,其弧与弦矢互求之法,与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传,其法廑见於秦书,即大衍之连环求等递减递加,亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意,撰缀术辑补二卷。古
又甄又甄录古今畴人,仍阮氏体例为列传,采前传所未收者,得补遗十二人,附见五人,续补二十人,附见七人,合共四十有四人,次於前传四十六卷之后。主
集所集所校著都为观我生室汇十二种。如四元玉鉴细草二十四卷,释例二卷,校正算学启蒙三卷,校正割圜密率捷法四卷,续畴人传六卷,皆别有单行本。古
外已外已刻者尚得七种,曰句股容三事拾遗三卷,附例一卷,本绘亭监副博启法补其遗,取内容方边员径垂线交互相求,一以天元驭之。曰三角和较算例一卷,取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法,用和较推演成式。曰演元九式一卷,括玉鉴中进退消长诸例,借无数之数,以正负开方式入之。曰台锥积演一卷,以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙,爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷,以四分周术佐以三统汉术,推得宣王十有六年九月既望甲戌,与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷,以元和李四香原术未备,为增补二十七术,合成四十术。曰推算日食增广新术一卷,推广正升斜升横升之算法,以求太阴随地随时之明魄方向分秒,复推其术,以求交食限内之方向,及所经历之诸边分。斋
馀若馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话,凡若干卷,未有刻本。其同县友有易之瀚者,亦以算名。知
易之易之瀚,字浩川。知士琳有四元玉鉴补草,因从问难,为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则,天元例十一则,四元例十三则。斋
顾观顾观光,字尚之,金山人。太学生,三试不售,遂无志科举,承世业为医。乡钱氏多藏书,恆假读之。博通经、传、史、子、百家,尤究极天文历算,因端竟委,能抉其所以然,而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙,蒐补其未备。如据周髀“笠以写天,青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云,而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员,以视法变为平员,则不得不以北极为心,而内外衡以次环之,皆为借象,而非真以平员测天也。知
开元开元占经鲁历积年之算不合,因用演积术,推其上元庚子至开元二年岁积,知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪,知其术虽起立春,而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首,闰在岁终,故小雪必在十月,昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家,以为未能推算入微。爰别立术,以日法朔馀展转相减,以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求,惟朔馀过於强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩,梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差,彼此递减,必得一齐同之数。引而伸之,即诸乘差,则八线、对数、小轮、橢员诸术,皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术,知回回、太西历法皆源於此。其所谓高月者即月孛,月藏者即月引数,日藏者即日引数,特称名不同,亦犹回历称岁实为宫日数,朔策为月分日数也。主
其论其论婺源江氏冬至权度,推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度,而后求两心差,乃专用壬戌。今用丁未求得两心差,適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端,其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距,术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距,不必更资实朔,较本法为简而密矣。知
西人西人割圜,止知内容各等边之半为正弦,而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术,别立求外切各等边之正切法,以补其缺。杜德美求员周术,用员内容六边形起算,巧而降位稍迟,谓内容十等边之一边,即理分中末线之大分,距周较近。且十边形之边与周同数,不过递进一位,而大分与全分相减即得小分,则连比例各率,可以较数取之。入算尤简易,可用弧度入算,不用弧背真数。然犹虑其难记,仍不能无藉於表,因又合两法用之,则术愈简,而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术,止有弦矢求馀线术,以为可通之割、切二线,因补其术。西人求对数,以正数屡次开方,对数屡次折半,立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆,捷矣,而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较,可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙,又有新术,而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数,因任意设数,立六术以御之,得数皆合。复立还原四术,并推衍为和较相求八术,为自来言对数者所未有也。又谓对数之用,莫便于八线,而西人未言其立表之根,因冥思力索,仍用诸乘方差,迎刃而解,尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术,如代数、微分、诸重学,皆有所纠正,类此。斋
所著所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古,依九章分为九卷,而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉,皆采古书而分门隶之。曰九数外录,则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学,凡记十篇。曰六历通考,则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解,曰回回历解,皆就原法疏通证明之。曰推步简法,曰新历推步简法,曰五星简法,则就原术改度为百分,省迂回而归简易,盖於学实事求是,无门户异同之见,故析理甚精,而谈算为最云。其友人韩应陛,亦以表章算书显。斋
应陛应陛,字对虞,娄县人。道光二十四年举人,官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子,为文古质简奥,非时俗所尚。既而从同里姚椿游,得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学,为几何原本,凡十五卷,明万历间利译止前六卷。咸丰初,英人伟烈亚力续译后九卷,海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订,授之剞劂,亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学,应陛推极其致,往往为西人所未及云。知
左潜左潜,字壬叔,大学士宗棠从子。补县学生。於诗、古文辞无不深造,尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒,士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法,无不贯通。且能自出己意,变其式,勘其误,作为图解,往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术,既成,忽悟通分捷法析分母、分子为极小数,根同者去之,凡多项通分,顷刻立就。因演数草,为通分捷法一帙。古
所譔所譔缀术补草四卷,自序曰:“自泰西杜德美创立割圜九术,以屡乘屡除通方圜之率,我朝明氏、董氏各为之说,而杜书之义,推阐靡遗。顾八线互求,尚无通术,未足以尽一圜之变,非明氏、董氏之智力,不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也,资於借根方;其不能广杜氏之法也,亦限於借根方。盖借根方即天元一之变术,究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明,又旁参以董氏之法,八线相求,各立一式,因式立法,因法入算。乡之不可立算者,今皆能驭之以法,即有不能立法布算者,而其式存,则能济法之穷;而度圜诸线,一以贯之矣。推其立式之由,所谓比例术,即明氏定半径为一率,所有为二率或三率之法也。所谓还原术,即明氏弧背求正矢,又以正矢求弧背之法也。所谓借径术,即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数,求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法,又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏,而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者,以借根方取两等数,其分母、分子杂糅繁重,既不可通,其多号、少号,展转互变,又不可约。试取明氏书驭之以缀术,其递降各率,顷刻可求。则是书也,其真能因法立法,别树帜於明、董之后者欤?书为徐君青先生所作,吴君子登成之,顾详於式而略於草。敬考其立法之原,不可遽得,学者难焉,潜因於暇日为补草四卷,因缀数语於简端云。”古
又譔又譔缀术释明二卷,湘乡曾纪鸿为之序,略曰:“易系云:‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定,莫数若矣。在昔圣神,制器尚象,利物前民,於数理必有究极精微,范围后世者,代久年湮,渐至失传。近三百年,泰西犹能推阐古法,而中国才智之士,或反率其成辙。孔子曰:‘天子失官,学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术,而未标角度八线钤表,则虽有用其理以入算者,而无表可检。则每求一数,必百倍其功,而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表,覈其立法得数之原,甚属繁难,而成表之后,一劳永逸。大至无外,细及极微,莫不以此表测之,则其用之广大可想。然得表之后,虽无事於再求,而任举一数,无从较其讹误。若仍用旧术,则非★月经旬,不能得一数,此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者,例用六宗、三耍、二简各法,若任言一弧,必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法,则但有弧径,而八线均可求。董方立解杜术,先取其线之极微者,令与与弧线合,而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合,故用尖锥以释弧矢,而弧矢之数理以显。明静菴解杜术,先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者,用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者,考其乘除之率数,与杜术乘除之原理合,故用缀术以释弧矢,而弧矢之数理亦出。董、明二氏,均为弧矢不祧之宗,无庸轩轾。迩百年中继起者,如戴、徐、李三氏所著书,虽自出心裁,要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟,於数学尤孜孜不倦,遇有疑难,必穷力追索,务洞澈其奥窔。尝谓方员之理,乃天地自然之数,吾之宗中宗西,不必分畛域,直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术,又释戴鄂士求表捷术,兹又释明静菴弧矢捷术,而一贯以天元寄分之式,於员率一道三致意焉,可谓勤矣。孰意天厄良才,壬叟竟於甲戌秋不永年而逝,凡在同人,无不叹惜!况余与之为两世神交,安能无怆切耶!”知
曾纪曾纪鸿,字栗诚,

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